-Lo primero que uno busca es encontrar
elementos en los cuales basarse para enfocar el problema. Al empezar, todo
suele parecer muy complicado, pero con sólo dejar correr libremente el
pensamiento, empiezan a perfilarse puntos de apoyo.
-Lo
primero que hice , fue intentar alcanzar la solución por fuerza bruta es
bastante complicado, aunque no imposible. ¿Cómo se puede reducir el
problema con ideas mas sencillas?
-Comencé considerando que el número final debía
terminar en: al menos tantos ceros como múltiplos de diez existen entre 1 y 100
inclusive.
- Lo
siguiente que hice fue simplemente observar:
-a)
Cualquier producto que diera por resultado 10, nos daría ceros
adicionales,
-b)
El único producto de números enteros que da diez es 2·5.
-c)
Multiplicando entre sí sólo números enteros.
-Observé que podía olvi darme de los múltiplos de diez, porque todos ellos son cosecuencia de al menos un
producto 2·5.
-Como
al final de cuentas cualquier factorial es un producto de números primos,
algunos de los cuales se repiten, osea están elevados a determinada potencia,
el problema quedaba reducido a determinar cuántos pares 2·5 existían en 100!
Ahora yo tenía
que contar los pares pero tratando de hacerlo de la forma más
sencilla posible.
- Al buscar otra forma de contar, recordé que
no me interesaba saber cuántas veces está el número dos como factor de 100!
Bastaba saber cuántas veces estaba el par 2·5. De nada me serviría saber
cuántas veces estaba el número dos si no averiguaba también cuantas veces
estaba el número cinco.
- Descubrí
que el dos se repetía muchas veces más que el cinco. Por lo tanto no me
interesaba saber cuántas veces estaba el dos. El límite al número de pares lo
imponía la cantidad de cincos, porque al ser cinco mayor que dos está presente
menos veces. Si se podían contar los cincos, el problema estaba resuelto. `
-Pero
en ambos casos del 2 y del 5, la terminación no nos dice cuantas veces
está el dos o el cinco, y eso es lo que hacía falta saber. Con el dos era
complicado, pero con el cinco era muy fácil.
- Dado que 5 al cubo es más que 100, el cinco
podía estar a lo sumo dos veces en cada uno de los números que forman 100!.
Ahora
bien: ¿En qué números menores que 100 se encuentra 5 al cuadrado? Únicamente en
el 25 y sus múltiplos: 50,75 y 100. En todos los demás casos el 5 está sólo una
vez como factor, y está cada 5 números. Basta hacer 100/5 para saber que hay 20
números, incluyendo el 100, que tienen al 5 como factor. Cuatro de esos números
tienen al cinco dos veces. Por lo tanto hay 24 cincos.
-Ya
estaba. Si el 5 está 24 veces y el dos sobra, 100! debe terminar en 24 ceros
